Тригонометрические функции

Тригонометрические функции
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе значит измерение треугольников ( - треугольник, а - измеряю).

В этом случае измерение треугольников следует осознавать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других Тригонометрические функции частей треугольника, если даны некие из их. Огромное количество практических задач, также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задачке решения треугольников.

Появление тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

В Тригонометрические функции первый раз методы решения треугольников, основанные на изависимостях меж сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрологами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости меж отношениями сторон треугольника Тригонометрические функции и его углами начали именовать тригонометрическими функциями.

Значимый вклад в развитие тригонометрии занесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и Тригонометрические функции тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Аксиому синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год погибели неизвестен) и азербайджанский астролог и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Не считая того, Насиреддин Туси в собственной работе «Трактат о Тригонометрические функции полном четырехстороннике» выложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Аксиому тангенсов обосновал Региомонтан (латинизированное имя германского астролога и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его Тригонометрические функции трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Предстоящее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрологов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), также в работах математика Франсуа Тригонометрические функции Виета (1540-1603), который вполне решил задачку об определениях всех частей плоского либо сферического треугольника по трем данным.

Длительное время тригонометрия носила чисто геометрический нрав. Такою она была еще в средние века Тригонометрические функции, хотя время от времени в ней использовались и аналитические способы, в особенности после возникновения логарифмов. Равномерно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали Тригонометрические функции использовать к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения разных устройств, для исследования переменного электронного тока и т. д. Потому тригонометрические функции всесторонне и глубоко Тригонометрические функции исследовались и заполучили принципиальное значение для всей арифметики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в главном была сотворена выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии.

Таким макаром, тригонометрия, появившаяся как Тригонометрические функции наука о решении треугольников, с течением времени развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позже часть тригонометрии, которая изучает характеристики тригонометрических функций и зависимости меж ними, начали именовать гониометрией (в переводе Тригонометрические функции – наука об измерении углов, от греч.  - угол, - измеряю). Термин гониометрия в ближайшее время фактически не употребляется.

Исследование параметров тригонометрических функций и зависимостей меж ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к Тригонометрические функции курсу геометрии.
^ Тригонометрические функции острого угла
В



прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол , дела сторон не зависят от размеров треугольника. Разглядим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы А=А Тригонометрические функции1 =. Из подобия этих треугольников имеем:






Если величину угла  измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а поменяться


только числовое значение отношений и т.д. Потому дела

м ^ В1 ожно рассматривать как Тригонометрические функции функции угла .

В


а1 c1 c


С

а 90 90


С1 А А1

b1 b


Рис.1.

Синусом острого угла именуется отношение обратного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:




sin=


Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются Тригонометрические функции отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно отыскать конкретно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом a и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, к примеру Тригонометрические функции, sina.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30; 45; 60 разглядим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника Тригонометрические функции с=2, а 2-ой катет b=3; разглядим также треугольник с углом a=45 и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=2 и b=1.

Приобретенные результаты запишем в таблицу.




30°

45°

60°

sina













Р
ис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов Тригонометрические функции от 0 до 90 можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2.
90 N

B 52



0,79


а


^ А b С 0,62 0 M Рис.3.

Радиусы Тригонометрические функции АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с верхушкой в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=, то по определению тригонометрических функций Тригонометрические функции мы имеем:


sin=а


Для угла 52 на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62., другими словами sin52=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов =2, 4, 6, 8,…, 88, согласно рис.3., найдем Тригонометрические функции значения (при осторожных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0 и 90 прямоугольных треугольников не существует. Но, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, то угол 0, а катеты а0 и b Тригонометрические функции1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin0=а=0; cos0=b=1.


Что касается значений tg и ctg, то при 0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно Тригонометрические функции растет. Этот итог записывают как ®, где знак  показывает, что величина неограниченно увеличивается и не может быть выражена никаким числом, потому что символ ¥ не является любым числом. Таким макаром, принимают, что tg0=0, а ctg Тригонометрические функции0 не существует, что почаще записывают как ctg0=¥.

Рассуждая аналогично при a®90 приходим к необходимости принять что

sin90=1; cos90=0, tg90 не существует (tg90°®¥) и ctg90°=0.


Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до Тригонометрические функции 90° с шагом 2°, которую можно получить обозначенным выше методом.

градусы

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

sin

0,00

0,03

0,07

0,10

0,14

0,17

0,21

0,24

0,28

0,31

0,34

0,37

градусы

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

sin

0,41

0,44

0,47

0,50

0,53

0,56

0,59

0,62

0,64

0,67

0,69

0,72

градусы

48

50

52

54

56

68

60

62

64

66

68

70

sin

0,74

0,77

0,79

0,81

0,83

0,93

0,87

0,88

0,90

0,91

0,93

0,94

градусы

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90







sin

0,95

0,96

0,97

0,98

0,98

0,99

0,99

1,00

1,00

1,00







Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график.

y


y=sinx

1


0 30 60 90 x

Рис.4.
^ Главные соотношения меж тригонометрическими функциями острого угла
Для прямоугольного треугольника в согласовании с аксиомой Тригонометрические функции Пифагора

a2+b2=c2

либо





По определению тогда




(1)

Просто также отыскать последующие зависимости




(2)


(3)




(4)




(5)


Из соотношений (1)-(5), которые именуют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, к примеру:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические ф
ункции так, что по значению Тригонометрические функции какой-то из них для данного острого угла можно отыскать значения всех других функций для этого же угла.
^ Тригонометрические функции случайного угла



Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус Тригонометрические функции-вектор образующий с положительным направлением оси 0x угол . Будем считать, что ось 0x – исходная сторона, а вектор - конечная сторона угла . Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

Можно Тригонометрические функции показать, что дела где а – длина вектора , зависят только от

величины угла  и не зависят от длины вектора . Потому эти дела можно рассматривать как функции случайного угла .

Синусом угла ,образованного осью 0x и произвольным Тригонометрические функции радиусом-вектором , именуется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:




y
A

ay





ax 0
x


Рис. 6.

Если не обозначено сколько оборотов сделал вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет Тригонометрические функции угол с точностью до целого оборота, т.е углу с исходной стороной 0x и конечной стороной соответствует бессчетное огромное количество углов, которые выражаются формулой

360n+, где n=0; 1; 2; 3; 4; …

и sin(+360 n)=sin

Длина Тригонометрические функции радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и зависимо от координатных четвертей имеют последующие знаки:

В I четверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax<0; ay>0;

В III четверти ax<0; ay <0;

В IV четверти Тригонометрические функции ax>0; ay<0/
^ График функции y=sinx
До сего времени аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах либо радианах. Значения тригонометрических функций, как дела отрезков, являются абстрактными Тригонометрические функции величинами (числами). При исследовании параметров тригонометрических функций приходится ассоциировать конфигурации функции в связи с переменами аргумента, а ассоциировать можно только однородные либо, что еще лучше, абстрактные величины.

Не считая того, введение тригонометрических функций Тригонометрические функции от абстрактного аргумента дает возможность использовать эти функции в разных вопросах арифметики, физики, техники и т.д.

Заместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число где r Тригонометрические функции обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются повторяющимися, другими словами существует число а, хорошее от 0, такое, что при любом Тригонометрические функции целом nтождественно производится равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; 1; 2 ...

Число а именуется периодом функции. Период функции sinx равен 2. Для нее имеет место формула:

sin(x+2n)= sinx, где n=0; 1; 2 ...

График Тригонометрические функции функции y=sinx именуют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответственных избранным значениям x, а потом по точкам, как это нередко делается Тригонометрические функции в алгебре, выстроить график.

Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим Тригонометрические функции на n равных частей:

Потом строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 01 x1 , но сначало координат 01(x1 =0) и 0(x=0) у етих систем разные. В новейшей Тригонометрические функции системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2] проводим прямые, перпендикулярные этой осм Тригонометрические функции. Точки скрещения соответственных прямых будут точками графика y=sinx, потому что ординаты этихточек равны значениям синуса, подходящим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2].


Рис.8.
^ Некие характеристики функции y=sinx
1. Непрерывность.

Функция y=sinx Тригонометрические функции существует при всех реальных значения x, при этом, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный Тригонометрические функции относительно начала координат.

3. ^ Самые большие и меньшие значения.

Все вероятные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1 sinx +1,

при этом sinx=+1, если




и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точки скрещения графика функции с осью абсцисс).

sinx Тригонометрические функции=0, если x=n (n=0; 1; 2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция растет, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах




(n=0; 1; 2;…).


И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции на интервалах




(n Тригонометрические функции=0; 1; 2;…).

tri-prostih-pravila-yu-v-razzhivinoj-oformlenie-oblozhki.html
tri-raznovidnosti-karmicheskoj-prani.html
tri-roda-deneg-oborotnie-kreditnie-i-darstvennie.html